Użyj naszego kalkulatora, aby łatwo obliczyć średnią arytmetyczną zestawu liczb (np. otrzymanych ocen w szkole).
Spis treści
Co to jest średnia arytmetyczna?
Średnia arytmetyczna jest jedną z najczęściej używanych statystyk. Średnia jest statystyką opisową używaną jako podsumowująca miara atrybutu próbki (zbioru danych). Oblicza się ją poprzez zsumowanie wszystkich liczb w zbiorze danych, a następnie podzielenie przez liczbę pozycji danych i jest najbardziej zrozumiałą miarą tendencji centralnej. Termin „średnia” jest czasami używany do opisania innych statystyk, takich jak mediana, podczas gdy termin „średnia” może odnosić się do innych środków, takich jak średnia geometryczna lub średnia harmoniczna. W związku z tym dla jasności preferowany jest termin „średnia arytmetyczna”.
Na przykład średnia arytmetyczna zestawu 1, 2, 3, 4, 7, 10 wynosi 1 + 2 + 3 + 4 + 7 + 10 / 6 = 4,5 (sprawdzone za pomocą tego kalkulatora średniej arytmetycznej). Jak możesz zauważyć, liczba 4,5 nie jest częścią tego zestawu liczb. Średnia nie jest zbyt solidną statystyką, co oznacza, że jest pod dużym wpływem wartości odstających i ekstremalnych. Na przykład, dodanie liczby 99 do poprzedniego zestawu liczb zwiększy średnią z 4,5 do 18 – jest to znacznie większa wartość niż wszystkie pozostałe, ale to wciąż jedna z wartości w tym zestawie. W niektórych przypadkach jest to pożądana właściwość, podczas gdy w innych sprawia, że prosta średnia nie nadaje się do celu.
W niektórych przypadkach „średnia” może odnosić się do średniej ważonej, w której różne wagi są przypisane do różnych punktów zestawu danych w oparciu o ich cechy. Ten kalkulator średniej nie obsługuje średnich ważonych, ponieważ wymagają one bardziej zaawansowanego zestawu danych wejściowych.
Wzór na średnią arytmetyczną
Symboliczną reprezentacją wzoru jest:
n to oczywiście liczba elementów w zbiorze danych. Aby znaleźć średnią wystarczy zastąpić we wzorze wartości, które mamy pod ręką i rozwiązać proste równanie.
Na przykład, jeśli liczby to 2, 4 i 6 ich średnią arytmetyczną można znaleźć sumując 2, 4 i 6, a następnie dzieląc je przez ich liczbę (3), co daje wynik (2 + 4 + 6) / 3 = 12 / 3 = 4.
Przydatne właściwości średniej arytmetycznej
Własności, które czynią średnią arytmetyczną użyteczną to fakt, że liczby na lewo od średniej są równoważone przez liczby na prawo od niej, innymi słowy – reszty, czyli pochodne od oszacowania, sumują się do zera. Inną świetną właściwością jest to, że minimalizuje sumę odchyleń kwadratowych (ma najmniejszy błąd średniokwadratowy – suma (xi – x)2), więc służy jako najlepszy pojedynczy predyktor dla zbioru. Dla próbek wylosowanych z populacji (np. badanie), średnia z próbki jest statystycznie bezstronnym estymatorem średniej z populacji. To wszystko są powody, dla których warto skorzystać z naszego kalkulatora średniej arytmetycznej.
Jak nie dać się zwieść średnim?
Podobnie jak w przypadku każdej pojedynczej liczby, która jest używana do reprezentowania zestawu danych, średnia z pewnością będzie niepełną i w pewnym sensie niedokładną reprezentacją. Średnie były szeroko stosowane przed wynalezieniem komputerów, kiedy wykreślanie lub inna wizualizacja nawet umiarkowanie dużych zbiorów danych była ogromnym zadaniem, a niewiele osób potrafiło zrozumieć wykresy. Obecnie jednak mamy bardzo potężne i bardzo łatwe sposoby na pokazanie całego zestawu danych, całego rozkładu, więc przedstawianie tylko średniej arytmetycznej może być złą praktyką.
Kiedy intuicje lub założenia dotyczące symetrii lub skośności danych zawodzą, średnia może być wysoce myląca, więc zawsze badaj pełny rozkład, kiedy to możliwe.
„Średnia” nie oznacza „typowa”
Wiele osób najwyraźniej nie rozumie różnicy między średnią arytmetyczną a nieformalnym użyciem słowa „średnia” jako synonimu słowa „typowy”. Ta pierwsza może być w rzeczywistości bardziej przybliżona przez tryb (najczęściej widziana wartość) lub medianę (wartość, która przecina zbiór na dwa zbiory o równej liczbie członków), chyba że omawiamy wzrost lub zysk procentowy lub bilansowanie indeksu, gdzie odpowiednie są środki geometryczne lub harmoniczne. Kiedy szukasz „typowej” wartości, możesz chcieć zbadać percentyl, powiedzmy środkowe 50% lub 60% lub 80% i zmierzyć ich średnią arytmetyczną, aby uzyskać lepsze pojęcie o tym, co „typowe” jest.
Dlatego należy być bardzo, bardzo ostrożnym przy używaniu średnich do podejmowania jakichkolwiek decyzji. Na przykład, chcąc dostać się do konkretnego biznesu, można przyjrzeć się średniej pensji, nie rozumiejąc, że dystrybucja prawdopodobnie jest zgodna z prawem potęgowym (dystrybucja Paretiana). W takim rozkładzie zarobki wielu ludzi spadają poniżej średniej, a kilka jest znacznie powyżej niej. Podręcznikowym przykładem jest agent nieruchomości, który próbuje sprzedać ci dom w okolicy, mówiąc, że średnia wartość netto ludzi tam mieszkających wynosi dziesiątki milionów, a „zapominając” wspomnieć, że jednym z nich jest Bill Gates. Podczas gdy pozostali jego sąsiedzi również mogą być milionerami, mogą zarabiać 60 000 dolarów rocznie, a średnia nadal może wynosić dziesiątki milionów, w zależności od wielkości sąsiedztwa.
Zbadaj pełne dane
Jeśli to możliwe, zawsze żądaj pełnych danych lub przynajmniej wizualnej reprezentacji rozkładu danych! Mając dane, zawsze możesz obliczyć ich średnią, używając naszego kalkulatora średniej arytmetycznej, lub programu Excel, lub bardziej zaawansowanego oprogramowania stacjonarnego lub internetowego. Ta rada pochodzi z lat patrzenia na średnie dla wszystkich rodzajów danych: najlepiej jest nie ufać średniej, ale starać się zrozumieć cały zbiór danych. Średnia arytmetyczna sprawdza się najlepiej w przypadku danych rozłożonych w przybliżeniu normalnie, gdzie większość punktów danych jest skupiona wokół środka, na przykład wysokość u ludzi. Jeśli względy praktyczne na to nie pozwalają, poproś o dodatkowe statystyki, takie jak mediana i tryb, zakres itp.
Uwaga na uśrednianie kątów i godzin dziennych
Szczególną uwagę należy zwrócić przy uśrednianiu kątów – należy być bardzo ostrożnym, gdyż w sensie geometrycznym średnia arytmetyczna wartości w stopniach może być złym deskryptorem zbioru. Np. średnia pomiędzy 5° a 355° wynosi 180°, ale bardziej odpowiednią średnią może być 0°, ponieważ znajduje się ona pomiędzy tymi dwoma na okręgu. Preferowanym podejściem w tym przypadku może być konwersja kątów na odpowiednie jednostki na okręgu punktowym, np. α na (cosα, sinα). Po konwersji ze współrzędnych biegunowych na kartezjańskie należy obliczyć średnią arytmetyczną dla punktów, a następnie dokonać konwersji z powrotem na współrzędne biegunowe.
Podobne rozważania i kroki można podjąć w przypadku uśredniania czasów dziennych.
